Mathesis universalis sive Amor Dei intellectualis

"Vous êtes le numéro 6"....

"je ne suis pas un numéro, je suis un homme libre !"

Six est un nombre tout à fait spécial, et pas seulement parce qu'il est le nombre de jours de travail effectif qu'il a fallu à D-ieu, pour faire le monde!

Les deux premiers nombres "premiers" sont 2 et 3, leur produit est 6, qui est le premier nombre parfait, égal à la somme de ses diviseurs : 6 = 1x2x3 = 1 + 2 + 3.

Les nombres parfaits suivants sont 28, 496, 8128... on ne sait toujours pas s'il existe un nombre parfait impair, ni si les nombres parfaits sont en nombre infini

http://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_number

Mais à partir du nombre premier suivant, soit 5, une normalisation s'opère, et tous les nombres premiers suivants seront de la forme : 6n -1 ou 6n + 1.

C'est très facile à démontrer, il suffit d'envisager tous les cas : un nombre quelconque ne peût prendre que les formes : 6n +1, 6n +2, 6n + 3, 6n + 4 ou 6n + 5...

or les nombres de formes 6n +2 ou 6n+ 4 sont divisibles par 2, donc non premiers, et ceux de forme 6n + 3 sont divisibles par 3.

Quant aux nombres de forme 6n + 5, il s'écrivent sous la forme 6k - 1, avec k = n+ 1

http://www2.research.att.com/~njas/sequences/?q=Numbers+n+such+that+6n-1+is+composite+and++6n%2B1+is+composite&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search

http://www2.research.att.com/~njas/sequences/?q=id%3AA121763&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search

http://www2.research.att.com/~njas/sequences/?q=id%3AA121764&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search

http://www2.research.att.com/~njas/sequences/A121765

http://www2.research.att.com/~njas/sequences/?q=Numbers+n+such+that+6n%2B1+is+prime+while+6n-1+is+composite.&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search

http://www2.research.att.com/~njas/sequences/A121763

http://www2.research.att.com/~njas/sequences/A046954

http://www2.research.att.com/~njas/sequences/?q=1%2C2%2C3%2C4%2C5%2C7%2C8%2C9%2C10%2C12&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search

http://www2.research.att.com/~njas/sequences/A002822

http://www2.research.att.com/~njas/sequences/A002476

http://www2.research.att.com/~njas/sequences/A007528

http://www2.research.att.com/~njas/sequences/A003627

http://www2.research.att.com/~njas/sequences/?q=1%2C7%2C13%2C19%2C31%2C37%2C43%2C61&sort=0&fmt=0&language=english&go=Search

L'anecdote immémoriale de Thalès de Milet et de la servante de Thrace est  racontée, notamment, par Platon (Théétète 174a):

«

Socrate :
L’exemple de Thalès te le fera comprendre, Théodore. Il observait les astres et, comme il avait les yeux au ciel, il tomba dans un puits.
 Une servante de Thrace, toute mignonne et pleine de bonne humeur, éclata de rire, à ce que l'on raconte, en disant qu’il s’évertuait à savoir ce qui se passait dans le ciel, et qu’il ne prenait pas garde à ce qui était devant lui et à ses pieds.

La même plaisanterie s’applique à tous ceux qui passent leur vie à philosopher. Il est certain, en effet, qu’un tel homme ne connaît ni proche, ni voisin ; il ne sait pas ce qu’ils font, sait à peine si ce sont des hommes ou des créatures d’une autre espèce ; mais qu’est-ce que peut être l’homme et qu’est-ce qu’une telle nature doit faire ou supporter qui la distingue des autres êtres, voilà ce qu’il cherche et prend peine à découvrir. Tu comprends, je pense, Théodore ; ne comprends-tu pas ?»

Voici ce qu'en dit Brunschvicg dans "Le progrès de la conscience dans la philosophie occidentale" :

«la sagesse du philosophe qui s'est retiré du monde pour vivre dans l'imitation de Dieu a, comme contre-partie inévitable, la maladresse et la gaucherie qui le mettent hors d'état de s'appliquer aux affaires de la vie pratique, qui font de lui, comme jadis de Thalès, la risée d'une servante thrace. Est il légitime de se résigner à cette séparation de la vertu philosophique et de la réalité sociale, qui s'est traduite, dans l'histoire d'Athènes, par des évènements tels que la condamnation de Socrate ? n'est ce point manquer à l'intérêt de l'humanité que de l'abandonner aux opinions absurdes et aux passions désordonnées de la multitude ? et la misanthropie n'est elle point, en définitive, un péché contre l'esprit au même titre que la misologie ? (Phédon, 89b)  »

Thalès est l'un des personnages, plus ou moins mythiques, qui personnifient la fondation grecque de l'Occident.
Sa "théorie philosophique" qui fait de l'eau le principe de l'univers mérite mieux que des railleries : elle est de nature héraclitéenne, et signifie que ce qui est de l'ordre du flux, du changement, est "plus fondamental" que ce qui est de l'ordre du fixe, du substantiel.
Au fond, Thalès est peut être l'ancêtre de la physique quantique....

Ce qui est en jeu dans cette historiette, tout à fait charmante, de Thalès et de la petite servante, qui prendra plus d'une forme au cours de l'Histoire (le philosophe Hans Blumenberg en a fait une recension dans son livre "Le rire de la servante de thrace"), ce n'est rien moins que l'entrée en scène du Dieu des philosophes et des savants, c'est à dire de l'universalité des théories rationnelles de l'Univers, face aux "dieux" ethniques orientaux qui sont ceux de la servante.

Telle est d'ailleurs l'explication suggérée par Blumenberg :

«peut être la servante de Thrace avait-elle confondu la théorie des étoiles avec le culte de celles-ci, et avait à ce niveau tenu ses propres dieux pour les plus forts.....

.....ce que l'astronome devait voir pour assurer la pérennité de sa science nous pouvons le découvrir ; ce qu'il a vraiment vu pour être captivé par sa theoria, nous ne le savons pas..pour la servante de Thrace qui voit le Milésien marcher dans la nuit dans une posture particulièrement inadaptée, l'hypothèse la plus vraisemblable est qu'il était à ce moment en train d'honorer ses dieux. Alors il est légitime qu'il trébuche car ses dieux n'étaient pas les bons...pour elle il n'y avait pas de dieux de son pays dans la direction où Thalès dirige son regard, vers le ciel étoilé. Ils étaient là où le Grec devait ensuite tomber.C'est pourquoi il lui fut permis de ressentir une joie maligne »

mais ce rire ne traduit que l'éternelle incompréhension  de l'opinion et du "sens commun", avec sa conception terre à terre et limitée aux besoins vitaux, de l'existence,  vis à vis de la science et de la philosophie, qui se soucient de l'Un qui est le Tout.

Heidegger, quant à lui, n'ignore pas l'anecdote de la servante, et voici ce qu'il déclare :

«C'est pourquoi nous devons définir la question : "qu'est ce qu'une chose ?" comme étant de celles qui provoquent le rire des servantes »

La philosophie s'oppose selon lui à la science, dont il ne considère que l'aspect utilitaire-technique, parlant d'arraisonnement techno-scientifico-commercial, comme le "sans utilité pratique" qui suscite le rire de ceux qui sont obnubilés par les chiffres du "rendement" ; la chute du philosophe (dans le puits, le placard, ou en tout cas loin des medias) est donc un signe du fait qu'il cherche du bon côté....

Mais la science se limite t'elle à la technoscience et au profitable-concurrentiel dans une "guerre économique" entre pays qui serait l'ultime destin de l'humanité, sur fonds de démocratie  et de droits de l'homme uniquement formels ? nous ne le croyons pas, d'accord sur ce point avec Badiou, et nous pouvons répondre à la question de ce dernier :

"De-quoi-Sarkozy-est-il-le-nom ?"

ceci :

Il est le nom de la servante de Thrace !

de Thrace ou d'ailleurs...dans un monde sans frontières qui est un village..."le Village" !

Quant à la servante, elle n'a plus du tout tendance à rire , et a perdu tous ses attraits : c'est en burqa qu'elle se promène maintenant dans les villes de France, et gageons que si un Thalès moderne tombait dans le puits, ou plutôt le caniveau, elle ne lui prêterait sans doute pas une main secourable pour se relever, préférant maudire ces mécréants qui tentent d'usurper la "science de Dieu" ('ilm u'llâh).

C'est que les "dieux" souterrains de la servante d' il y a 26 siècles ont finalement réussi à gagner le ciel, où ils sont devenus "un seul dieu" qui se présente comme "le Seul véritable pour toute l'humanité".

et de ce "dieu", on doit accorder à Salman Rushdie que :

"non seulement il n'est pas mort, mais en plus il est très en colère !"

tellement en rage qu'il s'amuse à précipiter des avions contre des tours....

Les nombres premiers :  2,3,5,7,11,13,17,19, etc... 2 bouche cruelle, 3 étoile de nuit , 5 couteau du boucher, 7 retour au Père, je dirai quelques jours vos naissances latentes ! ainsi que toi, 1, monarque , et toi, zéro, abysse !

pourquoi les nombres premiers ? première réponse : et pourquoi pas les nombres premiers?

un peu insuffisant quand même....

parce qu'ils engendrent tous les autres nombres entiers (on définit des nombres "premiers" pour d'autres espèces de nombres que les entiers, mais ici nous ne parlerons que des nombres premiers entiers, de N), et que les nombres entiers sont les plus fascinants parce que les plus "connus" de tous les nombres !

tout le monde, et surtout n'importe qui, à partir du moment où il fait ses courses, "pratique" quotidiennement les nombres entiers : 1,2,3,4,5,...

Et c'est pour cela que l'arithmétique est dite la "reine des sciences mathématiques" , et qu'elle est bien la plus fascinante de toutes les disciplines : parce qu'elle fait appel à des techniques d'une complexité de plus en plus grande, pour résoudre des questions que n'importe qui peut "comprendre" (c'est à dire : peut comprendre au moins l'intitulé).

Exemple : la célèbre conjecture de Goldbach, qui n'est toujours pas résolue à ce jour. Elle stipule que tout nombre pair peut être écrit sous la forme de deux nombres premiers...

exemples : 6 = 3 + 3 = 5 + 1; 12 = 7 + 5 ; 13 = 11 + 2 etc...

On n'a jamais trouvé de contre-exemple, de nombre pair qui ne soit pas somme de deux nombres premiers... mais on n'a jamais pu démontrer que la conjecture est vraie, et pourtant tous les plus grands s'y sont essayés, depuis des siècles, et s'y sont cassé les dents ! depuis 1742 pour être plus précis :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Goldbach

C'est un problème de ce que l'on appelle la théorie additive des nombres... et pourtant le concept de "nombre premier" appartient à la théorie multiplicative des nombres entiers; il n'y a pas de nombres "premiers", ou insécables, pour l'addition, sauf 1, qui n'est pas considéré comme un nombre premier.

Car quelque soit le nombre n non égal à 1, il peut toujours être "atteint" au moyen d'une somme finie de nombres différents de lui, ne fût ce que de 1 : n, c'est la somme de n nombres 1

 n = 1 + 1 + 1....+ 1 (n fois)

par contre, s'il est premier, il ne peut pas être "atteint" par multiplication de facteurs différents de lui; par exemple 11 ne peut s'exprimer que comme le produit de 11 multiplié par 1: il n'est divisible que par lui même et 1, et c'est là la définition d'un nombre premier.

 Les nombres premiers "engendrent" tous les autres nombres entiers, en ce qu'un nombre n quelconque peut être écrit d'une seule façon (à l'ordre près) comme produit infini :

     n= ∏ _i  p_i ^k_i 

 Ici le produit s'étend à tous les nombres premiers, qui sont en nombre infini, mais l'exposant k_i  n'est positif (supérieur ou égal à 1) que pour un nombre fini d'indices i.... pour tous les autres il est nul, et si k_i

est nul, alors   p_i ^k_i  = 1.

l'indice i varie ici de 1 à l'infini, il est le rang de chaque nombre premier dans la suite infinie de ces nombres : 2 a le rang 1, 3 le rang 2, 5 le rang 3, etc...

Il existe un site absolument paradisiaque pour tous les amoureux des nombres, c'est le site de Sloane :

http://www.research.att.com/~njas/sequences/

il contient à peu près toutes les suites possibles et imaginables (avec tout un tas d'autres informations passionantes) , pourvu qu'elles puissent être définies de manière mathématiquement rationnelle et objective ("la suite des nombres que je préfère personnellement", elle ne pourra jamais y figurer); toutes ne sont pas exprimables par une formule, et d'ailleurs la suite des nombres premiers ne peut pas être définie par une formule, c'est là l'une de ses caractéristiques les plus fascinantes.

Pour obtenir cette suite, taper "primes" dans le cadre, ou bien taper simplement les premiers nombres : 2,3,5,7,...

Cela donne la suite A000040 :

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000040

et l'on peut par exemple avoir la liste des 100 000 premiers nombres "premiers" avec leur rang (première colonne le rang, deuxième colonne le nombre premier) :

http://www.research.att.com/~njas/sequences/a000040.txt

 Au fait, comment sait on que les nombres premiers forment une suite infinie ?

Il faut le démontrer, et il existe une démonstration très simple, dûe il me semble à Euclide, qui a fasciné tout élève de première (ou de terminale ?), et l'a "initié" pour la vie à l'amour des nombres.

Supposons que ces nombres soient en nombre fini, mettons n : il existe n nombres premiers, pas un de plus, et n est fini. les nombres premiers sont donc une suite finie : p₁ = 2, p₂ = 3, etc.. jusqu'à p_n qui est le "dernier des premiers" !

alors on peut certainement  former le produit de tous ces nombres, ce sera encore un nombre fini (mais pas premier, évidemment); appelons le N :

N = p₁ x p₂ x....  p_n

Considérons le nombre N + 1 : il existe, aucun problème là dessus. D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, il possède, comme tout autre nombre, une décomposition unique en facteurs premiers :

 N + 1= ∏ _j  p_j ^k_j 

et les p_j  font forcément partie de la liste finie des nombres premiers :  p₁ = 2, p₂ = 3, etc.. jusqu'à p_n

Or aucun de ces nombres ne peut diviser N + 1 : car si p_m  est premier, il divise le produit : N = p₁ x p₂ x....  p_n

Donc s'il divise N + 1 et N, il divise aussi leur différence qui est 1. Or par définition, il est supérieur à 1, donc ne peut le diviser !

Nous aboutissons à une contradiction, donc l'hypothèse selon laquelle les nombres premiers seraient en nombre fini est fausse !

Il existe de nombreuses autres démonstrations, souvent bien plus compliquées, le premier chapitre du livre "Raisonnements divins" en donne six différentes :

http://books.google.fr/books?id=0p4z8ptz6GkC&dq=raisonnement+divins&printsec=frontcover&source=bn&hl=fr&ei=lUf0SoqHLMWj4QanpYDcAw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=4&ved=0CA4Q6AEwAw#v=onepage&q=&f=false

Les théories nonstandard

Parmi les domaines les plus fascinants des mathématiques, il existe des théories "non standard" des ensembles, des nombres et de l'analyse qui envisagent des nombres "non limités" (infiniment grands) ou "infinitésimaux" et les manipulent de manière rationnelle. Un disciple de l'athéisme à la Badiou dirait que l'Infini théologique est définitvement expulsé de son trône divin par la mathématique et "forcé" de descendre s'établir dans la "plaine de vérité" (expression dûe à Plutarque, si je ne m'abuse).

Or la décomposition en facteurs premiers permet très facilement d'exprimer mathématiquement des nombres infiniment grands et de les manipuler autant que faire se peut, sans faire appel aux constructions classiques à base d'ultraproduits ; voir :

http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number

pour la construction des hyper-réels, et lire l'excellent livre de Robert Goldblatt (le théoricien des topos) : "Lectures on the hyperreals" pour une exposition complète:

http://books.google.fr/books?id=TII-PX_OdloC&dq=Goldblatt+lectures+hyperreals&printsec=frontcover&source=bl&ots=Tc7sndguAE&sig=Jygc4YaCQQuSpGBn72gpcTgALAc&hl=fr&ei=wFH0Svf6C4yX4ga2xbjhAw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CBUQ6AEwAg#v=onepage&q=&f=false

Dans la formule donnant pour tout entier sa décomposition (unique à l'ordre prés) en facteurs premiers :

 n= ∏ _i  p_i ^k_i 

il suffit de ne plus se restreindre aux nombres "classiques" pour lesquels l'exposant k_i  est nul sauf pour un nombre "fini" de p_i . On envisagera donc des nombres "infiniment grands" , ayant une infinité de facteurs premiers, qui seront donc des produits vraiment infinis. On pourra par exemple parler rationnellement du nombre produit de TOUS les nombres premiers :

 P = ∏ _i  p_i    (l'exposant k_i  est égal à 1 pour tous les p_i ).

Mais en a t'on le droit, demanderont les fâcheux ? bien entendu ! en mathématiques, et surtout ici, on a tous les droits ! cela diverge violemment selon les topologies usuelles ? et alors ? en tout cas, pour les topologies p-adiques, cela converge, par définition !

Et d'ailleurs, si nous l'écrivons sous forme de fonction :   P → N 

 associant à chaque nombre premier son exposant, cela se fait tout naturellement : les nombres infinis seront de telles fonctions, prenant des valeurs supérieures ou égales à 1 pour tous les premiers, ou pour un nombre infini d'entre eux.

Mais la théorie se complique immédiatement, car les nombres k_i  qui sont les exposants sont des entiers, donc ayant eux mêmes une décomposition en facteurs premiers, d'où de nouveaux exposants k_i  à l'échelon supérieur, et ainsi de suite. On peut ainsi parfaitement envisager des nombres ayant un nombre infini de facteurs premiers, mais dont tous les exposants "de premier échelon" sont finis : le nombre P défini plus haut appartient à cette catégorie, puisque tous ses exposants "de premier échelon" sont égaux à 1, et donc il n'y a pas d'échelon supérieur.

Par contre on peut définir un analogue de ce nombre P produit de TOUS les nombres premiers, en prenant pour tous les exposants non plus 1, mais le produit infini P lui même. On appellera ce nombre le produit P à l'échelon 2, et on le notera :

P_ech2 =     ∏ _i  p_i^P   (tous les exposants k_i sont pris égaux à P_ech1 = ∏ _i  p_i    ).

Et ainsi de suite.... je ne vais évidemment pas formaliser cette théorie (que je crois nouvelle, elle est assez déjantée pour cela) ici, mais je veux juste donner une idée de ses développements possibles; on pourra ainsi définir une infinité de sortes de nombres "infiniment grands", mais manipulables dans un calcul au moins formel... une sorte particulière seront ainsi les nombres pour lesquels le nombre des facteurs premiers est fini, par exemple 2 et 3, mais pour lesquels les exposants de premier échelon sont des produits ayant un nombre infini de facteurs...etc..etc...la multiplication et la division de tels nombres sont parfaitement définies, ainsi que l'addition d'ailleurs, encore qu'il ne soit guère possible, sauf cas spéciaux, de claculer le résultat de telles additions en l'exprimant sous forme de produits de nombres premiers...