Reprenons l'expression du nombre que nous avons appelé le MONSTRE et appliquons lui les notations de Conway et Knuth pour simplifier son écriture.

Ce nombre,dans sa décomposition "développée" en facteurs premiers, possède comme facteurs TOUS les nombres premiers (à l'échelon un donc) et ensuite, aux échelons supérieurs qui contiennent les exposants, une infinité d'échelons, et à chaque échelon, TOUS les nombres premiers.

Bien sûr, ceci n'a pas de sens pour les mathématiciens, sauf formel, puisque ces produits divergent; nous avons décidé de confondre ce "nombre" avec les séries qui  "à l'infini", convergent vers lui; une telle série est celle qui à l'étape n acommeforme développée : comme facteurs premiers (échelon un) les n premiers nombres premiers; n échelons d'exposants; et à chaque échelon, de nouveau le produit des n premiers nombres premiers.

Or, appelons P_n le produit des n premiers nombres premiers.

Selon la notation de Conway, le nombre à l'étape n de la suite ci-dessus peut s'écrire :

P_n →  n → 2

ou, dans la notation de Knuth :  P_n ↑↑ n

Soit une tour de n étages : 

 P_n  puissance P_n puissance ... P_n (n fois)

Cette suite peut sembler s'élever assez vite vers le "ciel" des très grands nombres : 2, 6 ^6 , 30 ^30 ^30, ....

et pourtant les nouvelles notations dont nous disposons nous mettent entre les mains des "vaisseaux de navigation" qui , comparés à cette suite poussive, prennent des allures de jet supersonique face à une vieille 2 chevaux.

Car jusqu'ici nous nous contentons d'ajouter UN nombre premier, et UN échelon ! C'est bien, et nous serons rendus au bout "à la fin" (qui n'arrivera jamais).

Mais pouquoi se contenter de la modeste "tour" à deux flèches, qui n'est jamais que l'opération qui suit l'exponentiation ? et surtout pourquoi ne pas "diagonaliser", comme dans le procédé des nombres d'Ackerman ?

Voici une nouvelle suite bien plus "rapide" (le mot est faible), on procède en deux temps :

-d'abord pourquoi se contenter de n'ajouter qu'un seul nombre premier à chaque fois ? choisissons plutôt d'indexer les facteurs premeirs retenus sur la suite elle même, et pour cela imaginons que nous ayions atteint à l'étape n un nombre S_n .

A l'étape (n+1) on prendra les S_n premiers nombres "premiers" et on fera leur produit, que nous noterons : K_n .

Ensuite, deuxième temps, au lieu de se limiter à une banale tour, on indexe le tout , et on prend pour S_n+1 :

S_n+1  = K_n → K_n → K_n  

(notation de Conway, voir :  http://www.blogg.org/blog-30140-billet-notations_de_knuth_et_conway_pour_les_tres_grands_nombres_entiers-1109408.html )

Essayez de vous représenter ce que cela fait rien qu'en prenant pour premier terme de la suite S_n le nombre : 6^6 !

Nous identifierons le MONSTRE avec cette suite S_n .