Catégories doubles et multiples (double categories)

Si la théorie des catégories doit pouvoir formaliser des situations en dehors des mathématiques pures, il semble souhaitable de l'élargir quelque peu, en particulier en ce qui concerne la typologie des morphismes : on doit pouvoir introduire plusieurs types de flèches, ne se composant entre lles que si elles appartiennent au même type.

Un exemple simple peut le faire comprendre : soit une famille composée de trois membres, père, mère et fils, soit trois objets : P, M , F. Une première catégorie est obtenue en prenant entre ces objets la relation d'ordre "taille" : il y a une flèche entre P et F si F a une taille plus grande que P :

    P ---------> F   ssi F plus grand que P

On peut introduire bien d'autres relations d'ordre, par exemple l'âge, le poids, etc...en prenant l'âge, P sera évidemment plus vieux que F et l'on aura une deuxième sorte de flèche , mais cette fois :

    F  --------->> P  : P plus vieux que F

et évidemment les flèches 1 ne se composeront pas avec les flèches 2.

Un exemple un peu plus élaboré, appartenant au domaine de la physique mathématique, peut être trouvé dans l'article "Causal sites as quantum geometry" de Louis Crane et Daniel Christensen, à l'adresse suivante :

           http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0410/0410104.pdf

On y définit un site (ou espace-temps) causal comme un ensemble de "régions" muni de deux relations d'ordre partiel , c'est à dire, si on le voit comme une catégorie, de deux types de morphismes: une relation d'inclusion ≤ (qui n'est pas forcément à prendre au sens ensembliste), admettant un objet initial et des coproduits Û (unions), et une relation "causale" → , avec en outre des relations de compatibilités entre les deux types de flèches:

 A ≤ B → C  entraine  A → C  ; A → B et A ≤ B entrainent A → A  ;  A → C  et B → C entrainent A Û B → C.

Les auteurs catégorifient leur notion de "site causal" (terminologie malheureuse car elle crée la confusion avec ce qu'on appelle en théorie des catégories un "site") au moyen de ce qu'ils appellent une "2-catégorie faible" (c'est à dire ce qui est normalement appelé bicatégorie) mais on peut voir facilement que clea peut être formalisé plus commodément par une "catégorie double" dont la cellule de base est un carré:

                                              A ≤  B

                                              ↓      ↓

                                              C ≤  D

C'est Ehresmann qui semble t'il invente la notion de catégorie double sous la forme d'un ensemble muni de deux ordres, vers la fin des années cinquante. Un exemple en est ce qu'il appelle la "catégorie double" des quintettes