Généralisations du nombre d'or

22.06.2009

Le nombre d'or, lié aux suites de Fibonacci, est certes un objet d'études fascinant et toujours prometteur de nouvelles découvertes et applications, notamment dans le domaine de la physique, de la statistique, etc...

mais il ne possède aucun caractère "miraculeux" ou "spécial", par rapport à d'autres nombres tout aussi passionnants, si moins étudiés parce que moins connus.

D'ailleurs "miraculeux" est un terme incompatible avec mathématique, encore plus avec Mathesis universalis.

"Mathesis" désigne ce "qui peut être appris" (du verbe grec manthanein : apprendre). On apprend les notions et théorèmes qui permettront de comprendre de nouvelles notions, de démontrer de nouveaux théorèmes; mais le "miracle" désigne le "surnaturel", ce qui ne peut être compris à partir de ce que l'on a appris ou même de ce que l'on pourrait apprendre, au prix de n'importe quel effort.

La Mathesis universalis, cela consiste à rejeter tout ce qui est "miraculeux", "surnaturel".

Et puis l'on doit bien reconnaitre que les livres d'ésotérisme, d'occultisme, de numérologie ou de kabbale ont fait beaucoup depuis un siècle pour donner à ce "nombre d'or" une aura "troublante" qui n'est pas pour rien dans les passions qu'il provoque, et qui n'ont rien de bon ni de souhaitable dans la perspective de la Mathesis universalis.

A commencer par son nom, qui rappelle l'or, symbole de beaucoup de choses, les unes bonnes (lumière, etc..), les autres beaucoup moins...

Mais l'on ne voit pas pourquoi des livres prétendûment sacrés, comme le coran, se limiteraient à ce nombre, et non pas à ses semblables, car il en existe...

Le nombre d'or est la racine la plus élevée de l'équation : x²= x + 1, soit φ = (1 + √5) / 2 = 1.6180339... l'autre racine étant (1-√5)/2 = -1/φ

Il est aussi la limite du rapport de deux termes successifs de la suite de Fibonacci, définie par la relation de récurrence : F_n = F_n-1 + F_n-2

Sur tout ceci voir par exemple :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Fibonacci

http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html

Le site de Sloane sur les séquences d'entiers, un trésor pour tous les amoureux des nombres, donne la suite de Fibonacci et de nombreux liens ou suites associées :

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000045

http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html

Mais on peut généraliser les suites de Fibonacci aux suites de Tribonacci, Tetranacci, Pentanacci, etc..., n-step Fibonacci, définies par des relations de récurrence analogues ; ainsi pour Tribonacci:

T_n = T_n-1 + T_n-2 + T_n-3

ce qui est l'ordre 3, et à l'ordre k : T_n= T_n-1+ .... + T_n-k

Chacune de ces suites donne lieu à une constante, analogue au nombre d'or pour fibonacci, qui est définie comme la limite de deux termes successifs de la suite quand n →∞.

Pour Tribonacci cette constante est : 1.8393 voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_tribonacci

Pour l'ordre 4 elle est : 1.92756 voir http://mathworld.wolfram.com/TetranacciConstant.html

et voir : http://mathworld.wolfram.com/Fibonaccin-StepNumber.html pour la généralisation à l'ordre n.

Lers constantes suivantes (de Pentanacci, hexanacci, heptanacci, octanacci etc...) sont (voir http://mathworld.wolfram.com/PentanacciConstant.html) :

1.965948...,1.98358...,1.99196 etc...

C'est une suite qui tend vers 2 quand on fait tendre l'ordre k de généralisation vers l'infini ; cela est facile à voir, puisque la suite "limite" est alors celle qui est définie par la relation de récurrence :

A_n = Σ_i=1^i=n-1 A_i (le terme d'ordre n est défini comme la somme de tous les termes d'ordre inférieur, depuis le début de la suite à l'ordre 1).

Et il est immédiat de voir que le rapport de deux termes successifs de cette suite est toujours 2, donc la "limite" est 2.

Le site de Sloane donne les suites généralisées et les expansions décimales des "constantes" jusqu'à l'ordre 11, par exemple :

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A086088

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A103814

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A118427

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A118428

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A123526

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A127193

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A127194

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A127624

Mais existe t'il des travaux sur cette fameuse suite, commençant avec le nombre d'or et continuant à l'infini jusqu'à la limite 2, et qui contient donc toutes les "généralisations aux ordres supérieurs" du nombre d'or ?

pas beaucoup, j'ai trouvé ceci:

http://pefmath.etf.rs/accepted/801-Alikhani-nnva.pdf

qui examine la question de savoir si ces constantes généralisées peuvent être racines de certains polynômes dits chromatiques.

il existe aussi d'autres types de généralisations, aléatoires, qui ont permis de mettre au jour une nouvelle constante mathématique égale environ à : 1.13198824....

voir:

http://www.ams.org/mcom/2000-69-231/S0025-5718-99-01145-X/S0025-5718-99-01145-X.pdf

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A115064

http://www.maa.org/devlin/devlin_3_99.html

pourquoi le Coran ne mène t'il pas, sur des modes mystérieux voire mystériques et "gnostiques", à ces constantes tout à fait....mystérieuses elles aussi (excusez moi, je ne suis pas habitué aux investigations occultes, je manque de vocabulaire en ce domaine...) ?

mystère et boule de gomme !

à moins qu'il n'y mène ? Allah doit bien le savoir, puisqu'il est le plus Savant.... le problème est que personne ne sait à quel email on peut le joindre, à part quelques exaltés qui sont aussi généralement de sombres personnages, à éviter à tout prix...

j'ai l'impression que s'ils lisent ceci, les ateliers de propagande islamique vont commencer à s'activer... tant mieux, pendant ce temps là ils lâcheront peut être un peu la grappe aux femmes qui veulent "tomber le voile" (à défaut de la chemise), et lapideront un peu moins d'homosexuels et de "fornicateurs et fornicatrices"....des gens pour qui j'ai personnellement beaucoup de sympathie, si si je vous assure !