La meilleure façon de lutter contre la tentation-Badiou, c'est d'en revenir aux fondations de la ligne rationaliste : Platon bien sûr, mais surtout Descartes, Malebranche, Spinoza , expliqués par Brunschvicg.
Descartes a brillamment démontré que l'Infini est D-ieu, qu'il n'y a donc qu'un Infini, qui ne saurait être l'infini, ou les infinis, mathématiques. (On emploie la notation "D-ieu", à la manière des juifs croyants, pour désigner ici le dieu des philosophes par opposition au dieu des religions eet des croyants).
Mais est ce à dire que la mathématique et son discours sur l'infini, n'a rien à voir avec D-ieu ? évidemment non.... ne serait ce que parce que tout a "à voir" avec D-ieu, mais cette observation n'aide pas vraiment...
l'infini quantitatif n'est pas l'Infini "nom de " ou "attribut de " D-ieu, mais le fait qu'il soit possible de raisonner et de s'interroger sur l'infini en mathématiques est bel et bien une "preuve", ou un "signe" , que D-ieu est présent dans la pensée comme condition de possiblité de toute évaluation absolue (non relative à la "culture", au temps et au lieu).
Et d'ailleurs l'infini quantitatif s'introduit dans l'Infini philosophique dès les écrits de Spinoza : car comment interpréter l'infinité des attributs de la substance ou des modes, autrement que comme un infini numérique ?
Or, c'est ici le lieu de souligner un grave problème soulevé par nos recherches récentes sur les "entiers infinis", ou "non limités". De tels entiers existent dans les théories dites "non standard", mais ici nous avons suivi une autre voie pour les aborder, motivée d'ailleurs par notre engagement contre la tentation-Badiou.
Celui ci voit en effet dans la mathématique, outre une Pensée "absolue", rien de moins que ce que l'on appelle depuis Aristote l'ontologie, à savoir la théorie de l'Etre en tant qu'être. Et l'ontologie-mathématique, c'est pour lui la théorie des ensembles axiomatisée par Zermelo-Fraenkel, comme théorie de "ce qui est", alors que les topoi ne sont pour lui que de nature logique, théorie des mondes possibles. Et c'est d'ailleurs pour "marquer au fer rouge" notre opposition à Badiou et à l'ontologie que nous avons pris comme pseudo ici même : "topos". Selon nous, les topoi (pluriel de "topos", bien qu'on dise souvent "la théorie des topos") SONT la fondation des mathématiques, et ils permettent d'aller au delà de la pensée ensembliste : au delà de l'Etre, vers l'Un.
Or ceci nous conduit à destituer la théorie des ensembles comme "fondation des nombres" : selon nous, les Nombres (Idées divines) sont premiers, les ensembles viennent après. Et nous observons d'ailleurs que tous les axiomes des théories des ensembles font subtilement appel aux nombres (par exemple dans ZF le "nombre deux" est nécessaire pour parler d'une paire d' ensembles dans certains axiomes) , qui doivent donc "précéder logiquement et métaphysiquement" les ensembles.
La mathématique a le mérite de "solidifier" la pensée et le discours sur l'infini : est dit "fini" un ensemble équipollent à (en bijection avec) un nombre entier , et donc "infini" un ensemble qui ne peut pas faire l'objet d'une telle bijection. La cardinalité d'un ensemble étant défini comme sa "classe d'équipollence", un ensemble fini aura un cardinal fini, qui sera un nombre entier : son nombre d'éléments. Ceci veut dire qu'il est possible d'établir une bijection entre cet ensemble et un "ordinal fini" à savoir un ensemble : { 1,2,...,n}.
Un ensemble infini sera tel qu'il est impossible de touver une telle bijection : c'est donc une définition négative, mais on peut montrer qu'elle est équivalente à cette propriété : un ensemble est infini si et seulement s' il est possible d'établir une bijection entre lui même et une de ses parties propres (une partie propre est une partie d'un ensemble qui n'est pas vide et qui diffère de l'ensemble lui même).
Seulement, c'est ici que surgissent les problèmes évoqués plus haut...
Tant que nous sommes dans le domaine des entiers standard, tout va bien : tout entier est fini, donc un ensemble est dit fini s'il est équipollent à un entier (s'il a comme nombre d'éléments un entier n). Le premier cardinal "infini" est Aleph zéro, le cardinal de N, et il n'est évidemment pas un entier....
Par contre nous avons considéré que l'on peut parler d'entiers non limités, et nous en avons trouvé quelques formulations, à partir du théorème fondamental de l'arithmétique qui affirme que tout entier a une décomposition unique en facteurs premiers.
Notre idée, dans ce type de recherches, est de tout fonder (en ce qui concerne les nombres) sur les nombres premiers : nombres entiers (par le théorème fondamental), puis les autres nombres qui peuvent être dérivés de N par les constructions classiques .
Un entier "non limité" est ainsi le produit de tous les nombres premiers (en nombre infini). Nous pouvons en trouver de "plus grands" en prenant des exposants plus grands que 1 dans cette formule; par exemple nous pouvons donner à chacun des nombres premiers comme exposant : le produit de tous les nombres premiers... et ainsi de suite, jusqu' à un nombre "infini" d'échelons d'exposants.
seulement ceci nous entraîne dans plusieurs difficultés : quel est cet "infini" du nombre des échelons ? car maintenant nous avons plusieurs "infinis" qui ne sont pas tous égaux. Et d'autre part, si nous pouvons parler d'entiers qui sont "infinis", ou "non limités", alors il n'est plus vrai de dire qu'un ensemble équipollent à un entier est "fini".
Il nous faut de toutes façons absolument confronter nos recherches informelles actuelles, qui sont loin d'en être au stade d'une "théorie", même d'une "protothéorie", avec les autres constructions de nombres "non limités", à savoir les nombres hyperréels.
Le livre à lire dans ce domaine pour commencer est celui de Goldblatt qui est ici :
La construction des hyperréels est aussi expliquée sur ce wiki :
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number
http://en.wikipedia.org/wiki/Ultraproduct
Voir aussi cet article de Benci :
http://www.dm.unipi.it/~dinasso/papers/15.pdf
Or j'extrais du livre de Goldblatt ces informations (pages 56-57) sur les hyperentiers (hyperintegers ou hypernaturals) :
L'extension non standard *N de N est un ensemble dense ordonné de *N-galaxies (qui sont des copies de Z) tel qu'il n'y a pas de plus petite ou de plus grande galaxie.
Une galaxie , pour un entier "non limité" K , est une copie de Z, à savoir l'ensemble des nombres de la forme : K + n ou K - n, n parcourant l'ensemble N des entiers naturels. Si K est un entier naturel, sa "galaxie" est N, qui n'est donc qu'une galaxie particulière dans un ensemble ordonné infini de galaxies. (oui mais quel infini ? peut on dire infini ? ou indéfini ?)
L'ensemble des nombres premiers possède lui aussi une extension *P, consistant en les hyperentiers qui n'ont qu'une décomposition triviale dans *N.
Tout nombre hypernaturel a un facteur "hyperpemier"; deux nombres hypernaturels sont égaux s'ils ont exactement les mêmes facteurs de la forme pn , avec p hyperpremier et n hypernaturel.
Un nombre hypernaturel est divisible par tout nombre entier standard si et seulement s'il est divisible par pn pour tout p premier standard et tout n entier standard.
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