Les nombres premiers : 2,3,5,7,11,13,17,19, etc... 2 bouche cruelle, 3 étoile de nuit , 5 couteau du boucher, 7 retour au Père, je dirai quelques jours vos naissances latentes ! ainsi que toi, 1, monarque , et toi, zéro, abysse !
pourquoi les nombres premiers ? première réponse : et pourquoi pas les nombres premiers?
un peu insuffisant quand même....
parce qu'ils engendrent tous les autres nombres entiers (on définit des nombres "premiers" pour d'autres espèces de nombres que les entiers, mais ici nous ne parlerons que des nombres premiers entiers, de N), et que les nombres entiers sont les plus fascinants parce que les plus "connus" de tous les nombres !
tout le monde, et surtout n'importe qui, à partir du moment où il fait ses courses, "pratique" quotidiennement les nombres entiers : 1,2,3,4,5,...
Et c'est pour cela que l'arithmétique est dite la "reine des sciences mathématiques" , et qu'elle est bien la plus fascinante de toutes les disciplines : parce qu'elle fait appel à des techniques d'une complexité de plus en plus grande, pour résoudre des questions que n'importe qui peut "comprendre" (c'est à dire : peut comprendre au moins l'intitulé).
Exemple : la célèbre conjecture de Goldbach, qui n'est toujours pas résolue à ce jour. Elle stipule que tout nombre pair peut être écrit sous la forme de deux nombres premiers...
exemples : 6 = 3 + 3 = 5 + 1; 12 = 7 + 5 ; 13 = 11 + 2 etc...
On n'a jamais trouvé de contre-exemple, de nombre pair qui ne soit pas somme de deux nombres premiers... mais on n'a jamais pu démontrer que la conjecture est vraie, et pourtant tous les plus grands s'y sont essayés, depuis des siècles, et s'y sont cassé les dents ! depuis 1742 pour être plus précis :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Goldbach
C'est un problème de ce que l'on appelle la théorie additive des nombres... et pourtant le concept de "nombre premier" appartient à la théorie multiplicative des nombres entiers; il n'y a pas de nombres "premiers", ou insécables, pour l'addition, sauf 1, qui n'est pas considéré comme un nombre premier.
Car quelque soit le nombre n non égal à 1, il peut toujours être "atteint" au moyen d'une somme finie de nombres différents de lui, ne fût ce que de 1 : n, c'est la somme de n nombres 1
n = 1 + 1 + 1....+ 1 (n fois)
par contre, s'il est premier, il ne peut pas être "atteint" par multiplication de facteurs différents de lui; par exemple 11 ne peut s'exprimer que comme le produit de 11 multiplié par 1: il n'est divisible que par lui même et 1, et c'est là la définition d'un nombre premier.
Les nombres premiers "engendrent" tous les autres nombres entiers, en ce qu'un nombre n quelconque peut être écrit d'une seule façon (à l'ordre près) comme produit infini :
n= ∏ i pi ki
Ici le produit s'étend à tous les nombres premiers, qui sont en nombre infini, mais l'exposant ki n'est positif (supérieur ou égal à 1) que pour un nombre fini d'indices i.... pour tous les autres il est nul, et si ki
est nul, alors pi ki = 1.
l'indice i varie ici de 1 à l'infini, il est le rang de chaque nombre premier dans la suite infinie de ces nombres : 2 a le rang 1, 3 le rang 2, 5 le rang 3, etc...
Il existe un site absolument paradisiaque pour tous les amoureux des nombres, c'est le site de Sloane :
http://www.research.att.com/~njas/sequences/
il contient à peu près toutes les suites possibles et imaginables (avec tout un tas d'autres informations passionantes) , pourvu qu'elles puissent être définies de manière mathématiquement rationnelle et objective ("la suite des nombres que je préfère personnellement", elle ne pourra jamais y figurer); toutes ne sont pas exprimables par une formule, et d'ailleurs la suite des nombres premiers ne peut pas être définie par une formule, c'est là l'une de ses caractéristiques les plus fascinantes.
Pour obtenir cette suite, taper "primes" dans le cadre, ou bien taper simplement les premiers nombres : 2,3,5,7,...
Cela donne la suite A000040 :
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000040
et l'on peut par exemple avoir la liste des 100 000 premiers nombres "premiers" avec leur rang (première colonne le rang, deuxième colonne le nombre premier) :
http://www.research.att.com/~njas/sequences/a000040.txt
Au fait, comment sait on que les nombres premiers forment une suite infinie ?
Il faut le démontrer, et il existe une démonstration très simple, dûe il me semble à Euclide, qui a fasciné tout élève de première (ou de terminale ?), et l'a "initié" pour la vie à l'amour des nombres.
Supposons que ces nombres soient en nombre fini, mettons n : il existe n nombres premiers, pas un de plus, et n est fini. les nombres premiers sont donc une suite finie : p1 = 2, p2 = 3, etc.. jusqu'à pn qui est le "dernier des premiers" !
alors on peut certainement former le produit de tous ces nombres, ce sera encore un nombre fini (mais pas premier, évidemment); appelons le N :
N = p1 x p2 x.... pn
Considérons le nombre N + 1 : il existe, aucun problème là dessus. D'après le théorème fondamental de l'arithmétique, il possède, comme tout autre nombre, une décomposition unique en facteurs premiers :
N + 1= ∏ j pj kj
et les pj font forcément partie de la liste finie des nombres premiers : p1 = 2, p2 = 3, etc.. jusqu'à pn
Or aucun de ces nombres ne peut diviser N + 1 : car si pm est premier, il divise le produit : N = p1 x p2 x.... pn
Donc s'il divise N + 1 et N, il divise aussi leur différence qui est 1. Or par définition, il est supérieur à 1, donc ne peut le diviser !
Nous aboutissons à une contradiction, donc l'hypothèse selon laquelle les nombres premiers seraient en nombre fini est fausse !
Il existe de nombreuses autres démonstrations, souvent bien plus compliquées, le premier chapitre du livre "Raisonnements divins" en donne six différentes :
Parmi les domaines les plus fascinants des mathématiques, il existe des théories "non standard" des ensembles, des nombres et de l'analyse qui envisagent des nombres "non limités" (infiniment grands) ou "infinitésimaux" et les manipulent de manière rationnelle. Un disciple de l'athéisme à la Badiou dirait que l'Infini théologique est définitvement expulsé de son trône divin par la mathématique et "forcé" de descendre s'établir dans la "plaine de vérité" (expression dûe à Plutarque, si je ne m'abuse).
Or la décomposition en facteurs premiers permet très facilement d'exprimer mathématiquement des nombres infiniment grands et de les manipuler autant que faire se peut, sans faire appel aux constructions classiques à base d'ultraproduits ; voir :
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number
pour la construction des hyper-réels, et lire l'excellent livre de Robert Goldblatt (le théoricien des topos) : "Lectures on the hyperreals" pour une exposition complète:
Dans la formule donnant pour tout entier sa décomposition (unique à l'ordre prés) en facteurs premiers :
n= ∏ i pi ki
il suffit de ne plus se restreindre aux nombres "classiques" pour lesquels l'exposant ki est nul sauf pour un nombre "fini" de pi . On envisagera donc des nombres "infiniment grands" , ayant une infinité de facteurs premiers, qui seront donc des produits vraiment infinis. On pourra par exemple parler rationnellement du nombre produit de TOUS les nombres premiers :
P = ∏ i pi (l'exposant ki est égal à 1 pour tous les pi ).
Mais en a t'on le droit, demanderont les fâcheux ? bien entendu ! en mathématiques, et surtout ici, on a tous les droits ! cela diverge violemment selon les topologies usuelles ? et alors ? en tout cas, pour les topologies p-adiques, cela converge, par définition !
Et d'ailleurs, si nous l'écrivons sous forme de fonction : P → N
associant à chaque nombre premier son exposant, cela se fait tout naturellement : les nombres infinis seront de telles fonctions, prenant des valeurs supérieures ou égales à 1 pour tous les premiers, ou pour un nombre infini d'entre eux.
Mais la théorie se complique immédiatement, car les nombres ki qui sont les exposants sont des entiers, donc ayant eux mêmes une décomposition en facteurs premiers, d'où de nouveaux exposants ki à l'échelon supérieur, et ainsi de suite. On peut ainsi parfaitement envisager des nombres ayant un nombre infini de facteurs premiers, mais dont tous les exposants "de premier échelon" sont finis : le nombre P défini plus haut appartient à cette catégorie, puisque tous ses exposants "de premier échelon" sont égaux à 1, et donc il n'y a pas d'échelon supérieur.
Par contre on peut définir un analogue de ce nombre P produit de TOUS les nombres premiers, en prenant pour tous les exposants non plus 1, mais le produit infini P lui même. On appellera ce nombre le produit P à l'échelon 2, et on le notera :
Pech2 = ∏ i piP (tous les exposants ki sont pris égaux à Pech1 = ∏ i pi ).
Et ainsi de suite.... je ne vais évidemment pas formaliser cette théorie (que je crois nouvelle, elle est assez déjantée pour cela) ici, mais je veux juste donner une idée de ses développements possibles; on pourra ainsi définir une infinité de sortes de nombres "infiniment grands", mais manipulables dans un calcul au moins formel... une sorte particulière seront ainsi les nombres pour lesquels le nombre des facteurs premiers est fini, par exemple 2 et 3, mais pour lesquels les exposants de premier échelon sont des produits ayant un nombre infini de facteurs...etc..etc...la multiplication et la division de tels nombres sont parfaitement définies, ainsi que l'addition d'ailleurs, encore qu'il ne soit guère possible, sauf cas spéciaux, de claculer le résultat de telles additions en l'exprimant sous forme de produits de nombres premiers...
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