Le MONSTRE

Petit rappel d'un article récent : nous nous sommes laissés aller à "raisonner" sur des nombres entiers infiniment grands, ou "non limités", dans l'esprit des théories non standard...

dans la formule donnant pour tout entier sa décomposition (unique à l'ordre prés) en facteurs premiers (sous la forme d'un produit infini ) :

 n= ∏ _i  p_i ^k_i    (l'index i est celui de la série infinie des nombres premiers, donnée ici :

il suffit de ne plus se restreindre aux nombres "classiques" pour lesquels l'exposant k_i  est nul sauf pour un nombre "fini" de p_i . On envisagera donc des nombres "infiniment grands" , ayant une infinité de facteurs premiers, qui seront donc des produits vraiment infinis. On pourra par exemple parler rationnellement du nombre produit de TOUS les nombres premiers :

 P = ∏ _i  p_i    (l'exposant k_i  est égal à 1 pour tous les p_i ).

En fait nous appellerons dorénavant ce nombre infini, que nous venons de définir (ou plutôt dont nous affirmons que nous venons de le définir, car je sais que les puristes se gausseront ) : P₀

pour des raisons que nous allons maintenant exposer.

La décomposition de tout entier n en facteurs premiers peut s'écrire sous forme dde fonction :  P → N associant à chaque nombre premier son exposant ; seulement, comme cet exposant est à son tour un entier, il possède à son tour une décomposition en facteurs premiers, d'où une forme développée pouvant s'écrire comme une suite emboîtée de fonctions :

P → ( P → ... ( P → N)

dans la plupart des cas, cette forme développée s'arrêtera au bout de trois ou quatre "étages", mais théoriquement elle peut s'itérer à l'infini (attention, l'exponentiation n'étant pas asociative, les flèches ne se composent pas, d'où l'importance des parenthèses).

Nous notons  P₀  parce qu'on en reste à l'échelon zéro (pas d'exposant au niveau 1). Mais on peut définir un P₁ en donnant à chaque nombre premier un exposant égal à P₀.

Et ainsi de suite, à l'infini... on aura donc une suite infinie et vertigineuse d'infinis dont chacun, au niveau n, se définira en fonction de celui de niveau (n-1) par :

P_n = ∏ _i  ( p_i  ^  P_n-1)

 Notons :  P_∞ = P     le nombre obtenu (idéalement) en itérant ce processus à l'infini. On peut aussi le considérer comme la suite infinie elle même. Nous l'appelons le MONSTRE.

Par définition ce nombre "infiniment infini" n'aura aucun nombre infini  "au dessus de lui", à cause de la nature même du processus de cosntruction : nous prenons, à chaque échelon d'exponentiation, tous les nombres premiers.

Il me semble qu'il s'agit de l'aleph zéro de Cantor, ou l'infini dénombrable, mais ramassé en une formule..

 il possède des propriétés très spéciales, puisque multiplié par lui même un nombre indéfini de fois il reste égal à lui même...

En tout cas tous ces nombres entiers infinis peuvent bien s'additionner, se multiplier, se comparer dans des relations d'ordre...