• belles démonstrations de mathématiques

    On inaugure ici une "série spéciale" : donner des démonstrations mathématiques spécialement belles, sans aucune technicité pour être accessibles à tout le monde ou presque, et très courtes car comme on ne dispose pas de la notation mathématique.... par la force des choses ce sera donc le plus souvent des théorèmes élémentaires de l'arithmétique.


    Commençons par le théorème bien connu :


    "Il existe une infinité de nombres premiers"


    (ici, par nombres on entend les nombres dits "naturels"  : 1,2,3,....10,... 101, etc... , dont l'ensemble est noté N). Un nombre premier est un nombre qui n'est divisible que par 1 et par lui même. Exemple : 7 = 7*1 ; pas d'autre possibilité de le factoriser, dans N tout au moins (car bien sûr, dans le corps Q des nombres rationnels, on a 7 =(7/3) *3, etc...


     


    Preuve :


    supposons qu'ils soient en nombre fini k, soit une suite de nombres premiers ordonnés en sens croissant :


             p1, p2, ..... pk


    (la série commençant comme on sait par 2,3,5,7 etc..).


    Soit alors le nombre : X = (Πipi) + 1 = p1*p2*....*pk  +1  (* étant le signe de multiplication).


    On sait d'après le théorème fondamental de l'arithmétique que ce nombre X, comme tout entier naturel, possède une décomposition unique (à l'ordre près) en facteurs premiers.


                       X = u1a1 ....ulal


    Mais parmi ces facteurs premiers ui,, aucun ne peut être un des pi : en effet, si c'était le cas, ce nombre premier pi diviserait à la fois X et aussi, par définition,  le produit produit supposé fini p1*....*pk. Donc il diviserait aussi leur différence, qui est par construction 1. Or aucun nombre entier (différent de 1 ) ne peut diviser 1.


    Nous débouchons donc sur une absurdité, ce qui montre qu'il est impossible que les nombres premiers soient en nombre fini.


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