• Mystères du nombre 276

    La notion intitulée en anglais "aliquot sequence" est expliquée sur les deux liens suivants (entre autres) qui contiennent de plus de nombreuses références :

    http://en.wikipedia.org/wiki/Aliquot_sequence

    http://www.aliquot.de/aliquote.htm

    Il s'agit d'une suite d'entiers dont chaque terme est la somme des diviseurs propres du terme précédent. Par diviseurs propres de n on entend tous les nombres qui divisent n à l'exception de n lui même. Si on écrit s(n) pour cette somme (le deuxième site cité plus haut emploie la notation i(n)) on a donc :

                      s(n) = σ(n) - n

    Prenons un exemple simple , en partant du nombre 4 : ses diviseurs propres sont 1 et 2. On a donc :

              s(4) = 2 + 1 = 3

    Puis on itère et on prend comme terme suivant : s(s(4)) = s(3) = 1. Et la suite se termine donc au troisième terme : 4, s4) = 3, 1.

    Par contre si l'on avait pris 6, qui est un nombre parfait, comme premier terme, on aurait une suite infinie, composée de 6 se suivant indéfiniment, puisque l'on a :

                       s(6) = 6

    Pour d'autres nombres, comme les nombres amiables, on a aussi une suite infinie, composée de cycles de période 2; ainsi par exemple les nombres 220 et 284 sont tels que : s(220) = 284 et s(284) = 220. La suite associée à 220 sera donc : 220, 284, 220, 284, etc... à l'infini.

    D'autres nombres sont dits sociables et donnent lieu à des cycles plus longs ; on connait de nombreux exemples de cycle de 5 ou autres; par exemple 1264460 donne la suite périodique :

                        1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, etc...

    D'autres nombres encore ne sont ni parfaits, ni amiables, ni sociables, mais abouitissent au bout d'un certain nombre d'itérations à un tel nombre, et la suite associée devient donc périodique à partir de ce rang; ainsi par exemple le nombre 95 donne:

                                    95, 25, 6, 6, 6, 6,....

    De tels nombres sont dits : aspirants.

    Les suites de nombres amiables et aspirants sont données sur le site de Sloane aux url suivants :

    http://www.research.att.com/~njas/sequences/A063990

    http://www.research.att.com/~njas/sequences/A063769

    Une suite dite "aliquot sequence" peut donc se terminer des façons suivantes :

    - soit par un nombre premier, suivi d'un 1 (puisque si p est premier, s(p) =1)

    -soit par la répétition indéfinie du même nombre (dans le cas d'un nombre parfait)

    -soit par une suite périodique

    Peut il exister des suites qui se prolongent à l'infini de manière non périodique ? c'est une conjecture, appelée de manière malheureuse "conjecture de Catalan" , car il y a une autre conjecture de Catalan bien plus célèbre qui n'a rien à voir, et n'est d'ailleurs plus une conjecture mais un théorme depuis 2002, qu'il n'existe pas de telles suites.

    Mais on n'a pas pu la démontrer encore, et il existe des nombres pour lesquels on a des doutes : en, dessous de mille, il en existe cinq, dits les "cinq de Lehmer" :

    276, 552, 564, 660, and 966

    Ces nombres donnent des suites qui ne se terminent pas, en poussant les limites de calcul des ordinateurs au maximum;ainsi pour le premier d'entre eux, soit 276, cela donne :

    http://www.aliquot.de/sequenzen/276.elf

    jusqu'au rang 1566... après on ne sait plus !

    Le nombre 138 a longtemps été un candidat sérieux, mais il a été montré que la suite atteint un maximum obtenu pour  s117(138) = 2x61x929x1587569, puis décroît ensuite jusqu'à  s177(138) = 1.

    Or 276 est le double de 138; et 552 est le double de 276.

     Passons maintenant au nombre 276, qui semble assez remarquable.

    L'article suivant, qui est en allemand, et d'orientation anthroposophique (le mouvement, considéré par certains comme une secte, fondé par Rudolf Steiner), souligne certaines caractéristiques étranges de ce nombre, qui semble avoir été reconnu dès la plus haute antiquité pour son "symbolisme" :

    http://www.aliquot.de/chartres/chartres.htm

    ainsi le labyrinthe de la cathédrale de Chartres compte 276 dalles !

    Et c'est le cas d'autres labyrinthes "sacrés", voir  : http://enugmis.wordpress.com/2007/03/06/enugmis-11-lenigme-des-labyrinthes-du-moyen-age/

    qui cite un certain nombre de cathédrales d'Europe du XIIème siècle, dont les labyrinthes se composent tous de 11 anneaux, et de 276 dalles.

    276 est le nombre triangulaire de 23, c'est à dire la somme des nombres jusqu'à 23:

              276 = 23x24/2 = 1 + 2 + 3 +.... + 21 + 22 + 23

    De même que 153,  somme des nombres de 1 à 17, apparaît dans l'Evangile de Jean lors de la "pêche miraculeuse", 276 apparaît dans les "Actes des apôtres", au chapitre 27, verset 37 : Paul et ses compagnons sont emmenés prisonniers sur un bateau qui vogue vers l'Italie, mais ils traversent une tempête; Paul, auquel un ange apparaît pour lui promettre que lui et tous ses compagnons auront la vie sauve, car "c'est la volonté de dieu qu'il comparaisse devant l'Empereur", rassure ses compagnons et les engage à prendre de la nourriture :

     "tous alors, reprenant courage, s'alimentèrent à leur tour; au total, nous étions 276 personnes à bord"

    J'ai fait remarquer que 276 est le double de 138 = 6x 23.

    or les nombres composés des chiffres 1,3 et 8 ont des propriétés remarquables : ils font leur apparition dans  les 183 "univers" de la plaine de vérité de Plutarque, les 318 hommes qui figurent dans un épisode de "Genèse", le titre "813" du célèbre roman de Maurice Leblanc, grand amateur d'occultisme. Voir :

    http://membre.oricom.ca/sdesr/nb318.htm 

    http://2012.over-blog.org/article-31052769.html

    pour le nombre 318.

    Passons maintenant à des propriétés d'ordre plus mathématique des nombres 276 et 23 (276 étant le triangulaire associé à 23).

    23 est premier, et l'on sait qu'à tout nombre premier p correspond un anneau Zp des résidus modulo p qui est un corps dans le cas où p est premier. Expliquons très sommairement ces points.

    Deux entiers sont congrus modulo p  :  a ≡ b (p) si la différence (a-b) est divisible par p. Cette relation de congruence est une relation d'équivalence, et l'on peut donc former des classes d'équivalence. Ces classes d'équivalence, qui par définition sont au nombre de p, seront les membres du nouvel anneau (qui est un corps) Zp . Et l'on procèdera aux opérations d'addition et de multiplication qui donneront la structure d'anneau ou de corps de manière évidente.

    prenons l'exemple concret de Z23  : la classe d'équivalence de 3 sera composée de tous les nombres entiers congrus à 3 modulo 23, c'est à dire les entiers de la forme 3 + 23 k (où k prend toutes les valeurs entières, positives ou négatives). La classe de 23 sera notée 0, ce sera l"élément neutre de l'addition. On montre (grâce à l'identité de Bezout) que tout élément, excepté 0, a un inverse pour la multiplication : Z23 est donc un corps, on vérifie facilement toutes les conditions d'associativité, de distributivité, etc...de plus, il s'agit d'un corps commutatif (cad commutatif pour la multiplication) d'après le célèbre théorème de Wedderburn qui affirme que tout corps fini est commutatif, et que son nombre d'éléments est de la forme pf , avec p premier.

    Dans tout corps, et notamment dans tout corps Zp , le groupe multiplicatif Zp*  (qui comprend les éléments inversibles, c'est à dire non nuls) est cyclique : on appelle racines primitives les générateurs de ce groupe, c'est à dire les éléments g tels que tout élément du groupe soit de la forme gr ; il est facile de voir que les éléments du groupe  Zp* , qui sont au nombre de (p-1), sont : 1 = g0  = gp-1, g , g2 ,...., gp-2  . On montre que les racines primitives sont au nombre de φ(p-1), qui désigne le nombre d'entiers compris entre 1 et p-2 qui sont relativement premiers à p-1, c'est à dire n'ont aucun facteur commun avec p-1.

    Les racines primitives sont utilisées par plusieurs auteurs spécialisés dans l'ésotérisme des nombres ou arithmosophie, particulièrement par l'auteur qui se fait appeler Dom Neroman , et qui a écrit plusieurs ouvrages très intéressants comme "La leçon de Platon", "La plaine de vérité" ou "Le nombre d'or".

    Mais on peut lui reprocher de ne pas expliquer, même sommairement comme nous le faisons ici, le mécanisme mathématique qui est "derrière" les phénomènes qu'il montre et qu'il désigne comme "magiques" ; il appelle les groupes multiplicatifs Zp*  dont nous avons parlé des "roues magiques".

    Il existe donc des roues magiques pour chaque nombre premier (en fait plus généralement pour chaque nombre de forme pa  ou 2pa mais ceci ne nous intéresse pas ici), une roue magique est associée à chacun des "générateurs", ou racines primitives, dont nous avons parlé.

    Ainsi , comme 23 et 29 sont premiers, il existe des roues magiques à 22 et 28 cases : elles sont utilisées par les arithmosophes pour étudier le sens qu'il disent "secret" des alphabets hébreu et arabe, et donc de la Bible et du Coran.

    Comme 277 est premier, il existe une roue magique 276, comprenant plusieurs versions , une pour chaque "racine primitive".

    Or, la spécificité de 23 et de Z23 est que la racine primitive minimale de 23 est 5, alors que pour tous les nombres premiers précédents les racines primitives minimales sont 2 ou 3.

    La "roue magique" 23 correspondant à la racine primitive 5, qui comprend 22 cases ou "rayons", est de la forme : 1,5, 52 = 2 (puisque 25 - 23 = 2), 53 = 10, 54 = 50 = 4 (puisque 50 est congru à 4 modulo 23) etc...

    Vous pouvez faire le calcul, les puissances successives de 5 (prises modulo 23) donnent toutes les valeurs de 1 à 22 (22 qui est aussi 511 ), jusqu'à revenir  à 1 avec : 522  .

     Quel est le sens de ceci ? rien de moins que de ramener la suite indéfinie des entiers à un nombre fini de classes d'équivalence, à hauteur de la raison humaine. On peut associer l'univers indéfini des entiers au cosmos "euclidien" infini, et les "univers" finis Zp aux cosmos "pythagoriciens" "locaux".

    D'une façon analogue, Bell associe à chaque "topos" ce qu'il appelle une "théorie locale" des ensembles, et situe cette avancée spirituelle en mathématiques en liaison avec la révolution relativiste en physique.

     Il y a, chez les arithmosophes sérieux (comme Abellio, Neroman, Ernst Bindel l'anthroposophe, ou d'autres) des "visons intuitives" très intéressantes, qui ne sont pas à négliger.

    Mais tout l'esprit du travail développé ici consiste à considérer comme "supérieure" à ces considérations "symboliques" la science véritable qu'est la théorie des nombres, qui s'appuie sur un véritable labeur mathématique de démonstration.

    Nous ne voulons pas nous cantonner dans la pure théorie arithmétique, puisque le "but" (si l'on peut employer ce terme) de la Mathesis universalis (dont nous cherchons un accès "premier" dans les Nombres) est religieux-spirituel, et non pas technico-scientifique, mais il s'agit pour nous de "créer" une nouvelle "science spirituelle" des nombres en nous appuyant sur la théorie mathématique, sans négliger, ignorer ou mépriser ses aspects les plus techniques, et leur fascinante difficulté.

    Seul Raymond Abellio travaille avec un esprit analogue, sans doute est ce dû à ses études à Polytechnique, mais il ne va pas très loin dans l'étude mathématique, et retombe vite dans des considérations "qabbalistiques" qui pour nous sont dépassées.

    La science moderne (européenne, née en Europe au 17 ème siècle)  est par essence supérieure à tous les systèmes anciens orientaux, quelle que puisse être la valeur de ceux ci. Mais je m'en expliquerai plus à fond dans un autre article à venir.

    Et pour finir en beauté, une petite concession au mystère : j'ai parlé plus haut des propriétés surprenantes des nombres formés avec les trois chiffres 1,8 et 3, en commençant par 138 , et 813.

    Je rappelle par exemple que 8 et 13 sont des termes adjacents de la suite de Fibonacci, caractérisée par la relation de récurrence :

                               an  =  a n-1  + an-2

    qui intervient dans de multiples domaines mathématiques, et qui est donnée ici :  http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000045

    Les cinq nombres de Lehmer (Lehmer five) dont les séquences aliquotes n'ont pas de fin connue à ce jour sont :

     276 = 2x 138, 552 = 2x 276, 564, 660 et 966.

    Ce sont les cinq seuls nombres inférieurs à 1000 ayant cette propriété : http://www.aliquot.de/lehmer.htm

    Si l'on fait leur somme on trouve : 3018 !!!!!!!!!!!

    toujours 1,8 et 3....

    Et il existe une "roue magique" à 3018 termes, car 3019 est un nombre premier, comme vous pouvez le vérifier sur le site de Sloane :

    http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000040 (nombres premiers)

    http://www.research.att.com/~njas/sequences/a000040.txt (liste donnant les nombres premiers ayant le rang 1 à 100000).

    3019 est le 433 ième nombre premier, et 433 est le 84 ième nombre premier.

    Et 813 = 433 + 380 .... toujours 3 et 8.

    Quant à 3018, il sera intéressant d'étudier la roue magique, oups pardon le groupe multiplicatif correspondant, ainsi que la séquence aliquote : la décomposition de 3018 en facteurs premiers est : 2 x 3 x 503, donc la sommes des diviseurs propres est :

                    s(3018) = 1 + 2 + 3 + 6 + 503 + 1006 + 1509 = 3030   !!!!!  (le nombre 3018 est abondant, sa sommes des diviseurs propres le dépasse de 12 : 12 qui est le premier nombre abondant !!!).

    Si l'on analyse un peu plus loin, on est conduit aux nombres de la forme 6p, où p est premier, qui ont tous cette propriété que :

                                                     s(n) = n + 12

    A continuer, en notant que 3030 = 2 x 1515 et que les propriétés symboliques du nombre 515 sont nombreuses, et ont même fait l'objet d'un livre ( ce nombre est cité par Dante en particulier).

    D'ailleurs 515 = 1 + 2 + 3 + 6 + 503 (les diviseurs premiers de 3018 , plus 6 et 1)

    enfin, assez plaisamment, 3018 est relié à 2012, l'année qui marque la fin du calendrier Maya et qui d'après de nombreux "ésotéristes" signera la fin de notre humanité actuelle (mais ce sont sans doute des balivernes), 2012 qui a été choisie pour nommer ce blog : http://2012.blogg.org

    3018 = 3 x 1006 = 6x 503  ; 2012 = 4 x 503