• nombres premiers

    La plupart des livres à la sauce "mystique et pythagoricienne" s'extasiant sur le "mystère des nombres premiers" rappellent qu'il n'existe "aucune formule algébrique" permettant de calculer systématiquement les nombres premiers. Le seul outil (étudié en arithmétique élémentaire) est le crible d'Erathostène, où pour examiner si un nombre n est premier on prend les premiers déjà connus (2,3,5,7,11,13 etc...)et l'on calcule s'ils divisent ou non ce nombre : si l'on arrive au delà du premier dépassant juste √n, sans être tombé sur une division exacte, alors on peut être assuré que n est premier.



    Mais en fait, au cours des 10 ou 20 dernières années, grâce aux progrès de la micro-informatique, des programmes de formules polynomiales engendrant tous les nombres premiers ont été trouvées par les spécialistes en théorie de la récursion. Le degré k et le nombre de variables de ces polynômes varient, dans une version on a k = 16 et m =26, et toutes les formules trouvées jusqu'à présent ont m > ou = 12. Ces polynômes sont définis sur Z et restreints à N donnent une fonction surjective :



                              Nm → nombres premiers.



    On a aussi trouvé au cours du 20 ème siècle des formules plus compliquées, comme :



                                     ∏n-1y=2z=1n/y(n - yz) > 0


     


    ou (celle ci dûe à Hardy):


     


         limr→∞ lims→∞ limt→∞u=0s {1 - [cos((u!)r π/n)]2t } = n


    Chacune de ces propositions est équivalente à la proposition : "n est premier"


  • Commentaires

    1
    Lundi 2 Octobre 2006 à 12:17
    Et je repasserai lire
    ton blog : même si je suis nulle en maths, elles m'ont toujours fascinée.
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